Matecho Vicentinas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas . Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo :

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: ${\displaystyle \alpha }$, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo${\displaystyle \alpha }$ .
• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo ${\displaystyle \alpha }$.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{h}}}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo ${\displaystyle \alpha }$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{h}}}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {b}{a}}}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {h}{b}}}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {h}{a}}}$

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que:  cos 60º = cos 420º = 0,5

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:

Función Seno:

a	sen a
0	0
45	0,71
90	1
135	0,71
180	0
225	- 0,71
270	-1
315	- 0,71
360	0

Función Coseno:

a	cos a
0	1
45	0,71
90	0
135	-0,71
180	-1
225	0,71
270	0
315	0,71
360	1

Función Tangente:

a	tg a
0	0
45	1
90	////
135	- 1
180	0
225	1
270	////
315	- 1
360	0

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).

Función Cotangente:

a	Cotg a
0	////
45	- 1
90	0
135	1
180	////
225	- 1
270	0
315	////
360	- 1

Función Secante:

a	sec a
0	1
45	1,41
90	////
135	-1,41
180	-1
225	1,41
270	////
315	1,41
360	1

Función Cosecante:

a	Cosec a
0	////
45	1,41
90	1
135	1,41
180	////
225	- 1,41
270	-1
315	- 1,41
360	////

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante: En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".
	Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el  primer cuadrante son positivas. Sen  Csc Tan  Cot  Cos  Sec + + + + + + En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y .  El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el Coseno, la Tangente y sus inversas (Secante y Cotangente) tienen resultados negativos. Sen  Csc Tan  Cot  Cos  Sec + + - - - - En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la Tangente (y su inversa, la Cotangente) resultan positivas (- : - = +) Sen  Csc Tan  Cot  Cos  Sec - - + + - - En el cuarto cuadrante, el  cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el Coseno y la Secante. Sen  Csc Tan  Cot  Cos  Sec - - - - + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:

cuadrantes II I III IV

Seno - Cosecante + + - -

Coseno - Secante  - + - +

Tangente - Cotangente - + + -