Matecho Vicentinas

FUNCIONES INYECTIVAS Y FUNCIONES INVERSAS

Antes de ir a por ello, es bueno que recuerdes:

 Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto

• En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en:
  f:Nn→↦Ry=f(n)=πn
  
  
  El dominio es el conjunto de los números naturales,ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es f(n)=πn.
• El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=πn.
  

  Dominio, codominio y recorrido de una función

  En la función de nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto formado por todos los números naturales. Aunque en ocasiones se confunden, observa la diferencia entre el codominio, formado por todos los reales, y el recorrido, un subconjunto de este cuyos valores cumplen la regla de correspondencia.
• En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales

Funciones Inyectivas

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:

∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b

Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

Inyectiva vs no inyectiva

A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.

Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.

En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:

• Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:
  f(a)=2a+1f(b)=2b+1}Si f(a)=f(b)⇒2a+1=2b+1⇒a=b
  
  
  Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:
  f(a)=a2f(b)=b2}Si f(a)=f(b)⇒a2=b2⇒a=±b
• Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:
  

  Gráficas de funciones inyectivas

  A la izquierda, una función real inyectiva, frente a una que no lo es, a la derecha. La prueba para determinar si una función real es inyectiva, a partir de su gráfica, consiste en buscar una recta horizontal que pueda cortar a la gráfica en más de un punto. Si la encuentras, como en el caso de la gráfica derecha, la función no es inyectiva. Si no existe ninguna recta así, como en el caso de la izquierda, la función es inyectiva. En cada gráfica se han utilizado dos rectas de prueba.

No debes confundir la prueba de la recta vertical, utilizada para saber si una gráfica corresponde a una función, con la prueba de la recta horizontal, utilizada para saber si una función es inyectiva.

Ejemplos

F. inyectiva	F. no inyectiva
f(x)=x−1	f(x)=x2−x+2
f(x)=x+2−−−−−√	f(x)=x4+x
f(x)=ex	f:R+x→↦R+y=f(x)=x2−x+2

 Función inversa

Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.

Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;

La Función inversa será;

No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio,  cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.

Ejemplos:

a) Para una función g: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

Determina si g^-1 es una función.

Como puedes ver en este caso, la función g es sobreyectiva pero no es inyectiva, ya que    g (a) = g (b) = 1. Entonces, g^-1 no es función, ya que el elemento del dominio 1, tendrá dos imágenes (a y b). g^-1 (1) = a y g^-1 (1) = b.

b) Para una función h: A à B definida por el siguiente diagrama sagital;

Propiedades

La inversa de un función cuando existe, es única. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. las gráficas de f y f⁻¹ son simétricas respecto a la función identidad y = x.