Matecho Vicentinas

¿Qué son las Potencias?

Las potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un mismo número por sí mismo que se representa como xy, por ejemplo:

2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

Se denomina:

base. Al número que se multiplica (x) un determinado número de veces. En el ejemplo anterior la base sería el 2.
exponente. Al número de veces (y) que se multiplica la base. En nuestro caso sería el 4.

Así, podemos sustituir 2 · 2 · 2· 2 por 24 y se leería 2 elevado a 4.

A continuación mostramos algunos ejemplos de como nombraríamos las potencias: x

57. 5 elevado a 7
92. 9 elevado a 2 o también, 9 elevado al cuadrado.
53. 5 elevado a 3 o también, 5 elevado al cubo.
41. 4 elevado a 1.

Como podemos deducir de los ejemplos anteriores, cuando el exponente es 2 o 3 pueden leerse de una forma especial:

Si el exponente es el número 2, podemos llamarle cuadrado.
Si el exponente es el número 3, podemos nombrarlo como cubo.

Llamamos potencias de exponente entero a aquellas potencias en las que el exponente es un número entero, es decir, pueden ser positivos, negativos o el cero y no tienen parte decimal.

Signo de las Potencias

El signo del resultado de una potencia depende de si el exponente es un número par o impar y si la base es positiva (+) o negativa (-). Si realizamos las 4 combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:

Signo de las Potencias
Esquema	Ejemplo
(+)par = +	32 = 3 · 3 = 9 ( signo +)
(+)impar = +	33 = 3 · 3 · 3 = 27 ( signo + )
(-)par = +	-32 = -3 · -3 = 9 ( signo + )
(-)impar = -	-33 = -3 · -3 · -3 = -27 (signo -)

Como podemos observar en la tabla, el resultado de cualquier potencia siempre será positivo salvo que la base sea negativa y el exponente impar.

Signo de las Potencias

El signo del resultado de una potencia depende de si el exponente es un número par o impar y si la base es positiva (+) o negativa (-). Si realizamos las 4 combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:

Signo de las Potencias

Esquema Ejemplo

(+)par = + 32 = 3 · 3 = 9 ( signo +)

(+)impar = + 33 = 3 · 3 · 3 = 27 ( signo + )

(-)par = + -32 = -3 · -3 = 9 ( signo + )

(-)impar = - -33 = -3 · -3 · -3 = -27 (signo -)

Como podemos observar en la tabla, el resultado de cualquier potencia siempre será positivo salvo que la base sea negativa y el exponente impar.

Ejemplo

Determina el signo que tendrán los resultados de las siguientes potencias, sin realizar el cálculo:

a) (-2)5 b) 52 c) (-1)8 d) (-4)3

Propiedades de las Potencias de Exponente Entero

A continuación mostramos algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con las potencias.

Potencia con exponente 0

Cualquier número elevado a 0 da es igual a 1 (la unidad)

$x 0 = 1$

Ejemplo.

$50 = 1$

Potencia con exponente 1

Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado ese mismo número

$x 1 = x$

Ejemplo.

$51 = 5$

Potencias de Potencias

Una potencia elevada a otra potencia es igual a otra potencia que:

tiene la misma base

el exponente es el producto de los 2 exponentes.

$(x n) m = x n \cdot m$

Ejemplo.

$(23) 2 = 2 3 \cdot 2 = 26 = 64$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes potencias

a) (72)1 b) ((-5)3)2 c) ((-2)2)2 d) ((-3)4)2

Producto de Potencias con la misma base

El producto de dos potencias que tienen la misma base da como resultado otra potencia que:

tiene la misma base

y su exponente es la suma de los exponentes de ambas potencias

$x n \cdot x m = x n + m$

Ejemplo.

$23 \cdot 22 = 2 3 + 2 = 25 = 32$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) 24 · 2 · 22
b) 73 · 72
c) (-2)2 · (-2)7 · (-2)2
d) 43 · 45
e) (-3)0 · (-3)5 · (-3)2

Producto de Potencias con distinta base y el mismo exponente

El producto de dos potencias que no tienen la misma base aunque si el mismo exponente de como resultado otra potencia cuya:

base es el producto de las bases de ambas potencias.

el exponente es el mismo que el de ambas potencias.

Ejemplo.

$22 \cdot 32 = (2 \cdot 3) 2 = 62 = 36$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) 73 · 23 · 33
b) 22 · (-2)2
c) 52 · 32 · 72 · 42
d) 110 · (-1)8 · (-1)2

División de Potencias con la misma base

La división de dos potencias con la misma base da como resultado otra potencia que:

tiene la misma base que las dos anteriores

y su exponente es la resta de los exponentes de ambas potencias.

$x n x m = x n - m$

$1 x m = x - m$

Ejemplo.

$2 4 2 2 = 2 4 - 2 = 22$ $1 2 2 = 2 - 2$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con potencias:

a) 2723⋅ 3632

b) 132⋅ 33

c) 9232

d) −4−2

División de Potencias con distinta base y el mismo exponente

La división entre dos potencias que no poseen la misma base y sus exponente son iguales, da como resultado otra potencia cuya:

base es la división de las bases de ambas potencias

el exponente es el mismo que el de ambas potencias

Ejemplo.

$4 3 2 3 = (4 2) 3 = (2) 3 = 8$

Ejemplo

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con potencias:

a) 10252

b) 18232

c) 4−22−2

d) 323−2 ⋅ 3−2 ⋅ 22

De todo lo visto anteriormente podemos obtener la siguiente tabla resumen:

Propiedades de las Potencias

Propiedad Expresión Ejemplo

Potencias de Potencias

$(x n) m = x n \cdot m$

$(23) 2 = 2 3 \cdot 2 = 26 = 64$

Producto de Potencias con la misma base

$x n \cdot x m = x n + m$

$23 \cdot 22 = 2 3 + 2 = 25 = 32$

Producto de Potencias con distinta Base y el mismo exponente

$x n \cdot y n = (x \cdot y) n$

$22 \cdot 32 = (2 \cdot 3) 2 = 62 = 36$

División de Potencias
con la misma base

$x n x m = x n - m$

$1 x m = x - m$

$2 4 2 2 = 2 4 - 2 = 22$
$1 2 2 = 2 - 2$

División de Potencias con distinta base y el mismo exponente

$x n y n = (x y) n$

$4 3 2 3 = (4 2) 3 = (2) 3 = 8$

Potencia con exponente 0

$x 0 = 1$

$50 = 1$

Potencia con exponente 1

$x 1 = x$

$51 = 5$

Propiedad	Expresión	Ejemplo
Potencias de Potencias	$(x n) m = x n \cdot m$	$(23) 2 = 2 3 \cdot 2 = 26 = 64$
Producto de Potencias con la misma base	$x n \cdot x m = x n + m$	$23 \cdot 22 = 2 3 + 2 = 25 = 32$
Producto de Potencias con distinta Base y el mismo exponente	$x n \cdot y n = (x \cdot y) n$	$22 \cdot 32 = (2 \cdot 3) 2 = 62 = 36$
División de Potencias con la misma base	$x n x m = x n - m$ $1 x m = x - m$	$2 4 2 2 = 2 4 - 2 = 22$ $1 2 2 = 2 - 2$
División de Potencias con distinta base y el mismo exponente	$x n y n = (x y) n$	$4 3 2 3 = (4 2) 3 = (2) 3 = 8$
Potencia con exponente 0	$x 0 = 1$	$50 = 1$
Potencia con exponente 1	$x 1 = x$	$51 = 5$

¿

¿Qué son las Potencias?

Signo de las Potencias

Signo de las Potencias

Propiedades de las Potencias de Exponente Entero

A continuación mostramos algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con las potencias.

Potencia con exponente 0

Cualquier número elevado a 0 da es igual a 1 (la unidad) x0= 1 Ejemplo. 50= 1

Potencia con exponente 1

Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado ese mismo número x1= x Ejemplo. 51= 5

Potencias de Potencias

Una potencia elevada a otra potencia es igual a otra potencia que: tiene la misma base el exponente es el producto de los 2 exponentes. (xn)m=xn⋅m Ejemplo. (23)2 = 23⋅2= 26 = 64 Ejemplo Calcula el resultado de las siguientes potencias a) (72)1 b) ((-5)3)2 c) ((-2)2)2 d) ((-3)4)2

Producto de Potencias con la misma base

Producto de Potencias con distinta base y el mismo exponente

División de Potencias con la misma base

División de Potencias con distinta base y el mismo exponente

Cualquier número elevado a 0 da es igual a 1 (la unidad)

$x 0 = 1$

Ejemplo.

$50 = 1$

Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado ese mismo número

$x 1 = x$

Ejemplo.

$51 = 5$